Отправлено: 27.01.09 14:09. Заголовок: Теорема Петрова

Как человек глубоко нескромный, решил вынести найденную мной теорему в отдельную тему.
Итак:
- Кривая может быть равна двум кривым.
Доказательство:
y = - x;
y + x = 0;
y/x = - 1;
Возведём два из них во вторую степень:
y^2 + x^2 = - 2xy;
Произведение в правой стороне выражения указывает на то, что один из аргументов функции отрицателен, а второй положителен. Следовательно, задана единственная кривая.
y^2/x^2 = (-1)^2 = 1;
Оба аргумента могут принимать значения произвольного знака. Следовательно, функция задаёт две кривые.

 Отправлено: 07.02.09 14:43. Заголовок: А возможно и ..

А возможно и вообще утверждение каким-то образом ограничивающее "свободу" для иррациональных чисел иметь любые знаки после запятой в любом порядке делает суммарную длину точек такого множества равным нулю.
Интересно любое ли? И возможно как-то так ограничить множество иррациональных чисел, что бы суммарная длина точек была не 0 и не 1 а что-то посередине?

 Отправлено: 07.02.09 15:08. Заголовок: Ну пишут, что мера р..

цитата:

Ну пишут, что мера рациональных чисел этого отрезка, равна 0, а иррационнальных 1. Это, как-то надо строго доказать, наверное, сходу не буду, чтобы не смешить, но вообщем понятно интуитивно почему.

Это верно, но интуиции тут делать нечего. Множества и рациональных, и иррационнальных чисел на прямой всюду плотны.
Доказательство вытекает из того, что линейная мера счетно-аддитивна. Попросту это значит, что если некий отрезок образован бесконечной последовательностью примыкающих друг к другу отрезков, то сходящийся бесконечный ряд длин этих кусочков даст в сумме длину результирующего отрезка. Это может показаться интуитивно очевидным, но доказывается. А дальше просто: мера (длина) точки равна нулю, множество рациональных чисел счетно, бесконечный ряд, каждый член которого равен нулю, дает в сумме ноль.

цитата:

Теперь надо доказать, что точки содержащие 7 в десятичном разложении аналогичны иррациональным в этом отношении.

Этот путь ничего не даст. Из равномощности (эквивалентности) множеств не вытекает одинаковая мера. Например, отрезок эквивалентен своей половине, но про длину этого не скажешь.
Дам решение этой задачи - из моей книги "для чайников".

---

Вот так задача! Не знаю, как к ней и подойти.
Я дам подсказку. Попробуйте подойти со стороны меры дополнения.
Понимаю: надо доказать, что мера всех точек, в десятичном разложении которых, наоборот, присутствует семерка, равна полной длине отрезка – то есть единице?
Точно. Это и будет искомым доказательством.
Но это ничуть не подсказывает мне, с чего начинать...
А я задам наводящий вопрос. Можете ли вы указать какой-то отрезок конечной длины, в котором содержались бы только точки «с семеркой»?
М-м, не знаю... Впрочем, знаю! Возьмем отрезок от 0,7 до 0,79999... Все его точки имеют семерку – прямо на первом месте после запятой.
Отлично! А какова его длина?
Она равна 0,1: ведь 0,7(9) – это то же самое, что 0,8. Погодите, я уже понял, что делать дальше!
Тогда продолжите рассуждение.
Разбиваем [0, 1] на 10 частей. От 0 до 0,1 тоже можно указать отрезок, заведомо содержащий точки с семеркой: от 0,07 до 0,079999... – длиной 0,01. Такие же отрезки можно указать на промежутках 0,1 – 0,2, 0,2 – 0,3...
Только 0,7 – 0,8 у нас уже использован.
Значит, к имеющейся уже мере 0,1 прибавляется 0,01 * 9 = 0,09. Теперь делим каждую десятую снова на десять. Аналогично добавляется еще 0,001 * 9 * 9 = 0,081. И так далее. Вероятно, получается бесконечный ряд, который должен в сумме дать единицу.
Верно, дальше дело техники, задача в принципе решена.

 Отправлено: 07.02.09 19:25. Заголовок: А теперь задачи н..

А теперь задачи на закрепление материала.
(для спецшкол милиции)
1) Доказать, что множество точек отрезка [0, 1], у которых в десятичном разложении отсутствует цифра 4 , имеет меру нуль.
2) Какова мера множества точек отрезка [3,4], у которых в десятичном разложении присутствует нуль.
3) Какова мера множества точек отрезка [2008,2009] у которых в десятичном разложении отсутствует 5
4) Какова мера множества точек отрезка [0,1000000] у которых после запятой в десятичном разложении нет ни одной цифры 3 и ни одной цифры 2
5) Какова мера множества точек отрезка [0,1] у которых в шестнадцатеричном разложении присутствует F
6) Какова мера множества точек отрезка [7,10] у которых в восьмеричном разложении присутствует 6
7) Какова мера множества точек отрезка [0,1] у которых в двоичном разложении отсутствует 2

 Отправлено: 08.02.09 10:48. Заголовок: Задачи сводятся к ут..

Задачи сводятся к утверждению, которое невозможно опровергнуть:
Множество точек на бесконечно малом отрезке бесконечно. Это аналоговая система, к которой неприменимы цифровые подходы.

 Отправлено: 08.02.09 14:30. Заголовок: Задачи сводятся к ут..

цитата:

Задачи сводятся к утверждению, которое невозможно опровергнуть:

Не сводится.

цитата:

Множество точек на бесконечно малом отрезке бесконечно.

Непонятно, что это значит: бесконечно малый отрезок.

 Отправлено: 08.02.09 15:44. Заголовок: Станислав пишет: 1)..

Станислав пишет:

цитата:

1) Доказать, что множество точек отрезка [0, 1], у которых в десятичном разложении отсутствует цифра 4 , имеет меру нуль. 2) Какова мера множества точек отрезка [3,4], у которых в десятичном разложении присутствует нуль

Здесь надо выводить бесконечные ряды и считать их суммы. Сумму можно в справочнике посмотреть. Наверное, можно и на машине посчитать.

 Отправлено: 13.02.09 22:06. Заголовок: Здесь надо выводить..

цитата:

Здесь надо выводить бесконечные ряды и считать их суммы

И то верно -

цитата:

Вероятно, получается бесконечный ряд, который должен в сумме дать единицу.

а до этого-то Сергей Гаврилов писал

цитата:

интуиции тут делать нечего

А какова будет мера множества точек отрезка [0,1] у которых в десятичном разложении отсутствуют идущие подряд в таком порядке цифры 18701924 цифры годов рождения и смерти Владимира Ильича Ленина ?
Можно попытаться вывести ответ анализируя всемирно-историческое значение деятельности В.И.Ленина.
Но мы попробуем найти ответ пользуясь методом описанным Сергеем Гавриловым

Найдём меру точек в десятичном разложении которых присутствуют идущие подряд указанные цифры.

Они точно будут от 0,187019240 до 0,18701924999... получаем 0,0000001 ...


Надо сначала отработать приём на двух идущих подряд "регламентированных" цифрах...
скажем не 7 , а 77 - двух семёрок подряд нет в десятичном разложении - какова будет мера?

 Отправлено: 17.02.09 00:36. Заголовок: В случае если ста..

В случае если ставится условие, чтобы обязательно была одна цифра в десятичном разложении после запятой на любом месте на отрезке от 0 до 1, например 7
то получаем такой ряд 1/10+9/100+81/1000+729/10000 , можно сказать сумма 9^(n-1)/10ⁿ при натуральных n от 1 до плюс бесконечности. Эта штука действительно будет стремиться к еденице.

Если ставится условие, чтобы было две к примеру 2 семёрки, но не обязательно подряд , то получаем

1/100 + ...
0,077; 0,177... 0,977 исключая уже "посчитанные" 0,777 будет 0,009
и еще 0,707;0,717;0,727...исключая посчитанное будет еще 0,009

получаем пока 0,01 + 2х0,009 = 0,028... пока негусто

Еще прибавляется с четвёртой цифрой после запятой...

прибавляется 1/10000 умноженная на число комбинаций с одной и только одной семёркой(где больше уже посчитаны) в первых 3-х разрядах после запятой, число таких комбинаций по моему 81x3=243

итак 0,01+2х0,009+3х0,0081 = 0,0523

э...чего-то расти начало, как бы так больше единицы не получилось

Вообщем, вроде получается сумма ((n+1)x9ⁿ)/10ⁿ⁺² при натуральных n от 0 до плюс бесконечности.

Наверное к единице сходится

а может и нет

 Отправлено: 17.02.09 01:23. Заголовок: А если задано так..

А если задано такое ограничение , что должны именно подряд скажем две семёрки быть, то получаем
0,77 дальше 0,077; 0,177...0,677;0,877;0,977

0,01 +0,009+...

С добавлением четвёртой цифры ... из 10000 на 77 оканчиваются 100 чисел (т.к. из тысячи на 7 кончается 100 чисел) , надо вычесть из них уже "посчитанные" 19

0,01 + 0,009+0,0081...

Я ничего не напутал

Так ведь одна десятая получится

 Отправлено: 17.02.09 19:51. Заголовок: Итак похоже что то..

Итак похоже что точки от нуля до еденицы в десятичном разложении должны присутствовать обязательно на любом месте 2 определённые цифры одна за другой( очевидно не обязательно одинаковые) занимают одну десятую часть пространства от 0 до 1.
Столько же займут суммарно и точки для которых регламентирована одна цифра, но на каком-то определённом месте, например точки с 7 сразу после запятой, или с 8 в разряде 10-х ...или 5 в разряде стомиллионных...
Если же привязать условие обязательности какой-то цифры не к какому десятичному разряду, а к другой цифре которая может быть в каком угодно месте от запятой - то получим суммарную длину этих точек такую же!
Только если цифра привязана к какому-то десятичному разряду, то промежутки будут чередоваться через один и тот же интервал - после промежутка содержащего определённую цифру в определённом разряде - в 9 раз больший промежуток не содержащий.
А если цифра привязана не к "месту" , а к другой цифре, за которой должна следовать, то там сложнее.


Только что, вот что смутило меня в этих рассуждениях - если представить сто-ичную систему счисления...
То вроде бы рассуждая как и с десятичной системой получим, что точки содержащие цифру "77" должны давать еденицу
Цифр получится вроде в два раза меньше а не в 10...
И притом с другой стороны не будет учитываться половина вариантов, которые учитывались в десятичной системе-
в случае с двумя семёрками
0,0770 в десятичной в сто-ичной будет 0,"07""70" цифры"77" нет...

Стоичную систему трудно осмыслить надо проработать варианты с 2-ной и 4-ной системами или с 4-ной и 16-ной...

Ну и досчитать куда идёт идёт ряд с двумя регламентированными цифрами без привязки их к месту и без привязки к друг другу.
Никто не помогает - один за всех копаю...

 Отправлено: 17.02.09 23:46. Заголовок: Итак двоичная сист..

Итак двоичная система
Какова суммарная длина точек содержащих 1 после запятой?

1/2 + 1/4 +1/8... еденица.

Какова суммарная длина точек содержащих как минимум две единицы не обязательно рядом?

1/4 от 0.11
с прибавлением 3-й цифры после запятой

101; 011... а 110 и 111 не считаем так уже учтены... - 2/8
Ой , уже половина

с прибавлением 4-й цифры
1001, 0101,0011 , а остальные уже вроде учтены 3/16


Итак
1/4 + 2/8 +3/16/ +4/32+5/64+6/128...
Эта хренатень похоже к единице придёт, ну и соответственно наверное и десятичная аналогичная...

 Отправлено: 19.02.09 02:15. Заголовок: Суммарная длина то..

Суммарная длина точек содержащих две единицы подряд в двоичной системе после запятой
1/4 + 1/8 +1/16... это получается 1/2.

А в четверичной системе суммарная длина точек содержащих 3 после запятой равна 1.

Если число записанное в четверичной системе перевести в двоичную, то 3 превратится в 11.

В связи с беспробудным пьянством пагубно влияющим на способность логически мыслить чего-то не могу я осознать что-то наверное вполне очевидное или делаю какую-то логическую ошибку...



1/2 и прежде 0,1 судя по всему ошибочно посчитаны.
Конечно же в имеющих большое количество двоичных знаков после запятой две единицы подряд будут практически везде, а не в половине...

 Отправлено: 19.02.09 02:55. Заголовок: Еще раз 0,11... эт..

Еще раз
0,11... это 1/4 всех точек...
0,011... это 1/8; 0,110... уже учтено
0,0011 ... это 1/16.... а вот ошибка! и еще плюс 1011 - еще 1/16

таким образом точки от нуля до единицы имеющие две подряд какие-то цифры при записи в любой системе счисления имеют суммарную длину 1.

при записи в 10-ной системе суммарная длина точек имеющих подряд две цифры, например две 7

0,77... 0.1
0,077... 0,01
0,**77.... 0,001 х 9
0,***77... 0,0001 х 81
0,****77... 0,00001 x 9³

 Отправлено: 19.02.09 04:01. Заголовок: Если ставится услови..

цитата:

Если ставится условие, чтобы было две к примеру 2 семёрки, но не обязательно подряд , то получаем 1/100 + ... 0,077; 0,177... 0,977 исключая уже "посчитанные" 0,777 будет 0,009 и еще 0,707;0,717;0,727...исключая посчитанное будет еще 0,009 получаем пока 0,01 + 2х0,009 = 0,028... пока негусто Еще прибавляется с четвёртой цифрой после запятой... прибавляется 1/10000 умноженная на число комбинаций с одной и только одной семёркой(где больше уже посчитаны) в первых 3-х разрядах после запятой, число таких комбинаций по моему 81x3=243 итак 0,01+2х0,009+3х0,0081 = 0,0523 э...чего-то расти начало, как бы так больше единицы не получилось Вообщем, вроде получается сумма ((n+1)x9n)/10n+2 при натуральных n от 0 до плюс бесконечности.

Не напутал ли я чего и здесь, ряд , там где две семёрки не обязательно подряд очевидно должен быстрее расти чем тот где две семёрки подряд... посмотрим.

 Отправлено: 19.02.09 19:35. Заголовок: Итак, продолжим ..

Итак, продолжим околоматематический флуд
Скорость роста рядов сравним позднее.
Пока ясно, что мера множества точек от 0 до 1 в разложении которой после запятой отсутствует хоть какая-то комбинация цифр , (может очень далеко после запятой) равно нулю.
И если мы тыкнемся в числовую прямую и будем бесконечно увеличивать "zoom" , то окажется что мы тыкнулись в точку представленную иррациональным числом и цифры после запятой будут бесконечно продолжаться и если мы будем записывать в 2-ной системе цифры после запятой а затем разобьем на байты и на месте каждого байта напишем символ представленный этим кодом в ASCII
то где-то далеко-далеко после запятой обязательно будет текст "Евгения Онегина", более того там будут все тексты которые были написаны в прошлом и будут написаны в будущем нами, писателями. Тыкнешь в другую точку - опять всё там будет уже в другом районе после запятой...
Это противоречит здравому смыслу, так как тогда получается, что мы писатели не сочиняем, а как-бы списываем оттуда...

В связи с этим назрела следующая реформа математики.
Необходимо признать "иррациональные числа" несуществующими.
Считать , что любое число является рациональным, то есть может быть представлено в виде одного натурального числа делённого на другое.
самым последним младшим .разрядом после запятой считать тот, который соответствует дроби в числителе которой размеры самой маленькой элементарной частицы известной на сегодняшний день, а в знаменателе размеры Вселенной поддающиеся наблюдению человечеством на сегодняшний день.
Разумеется с развитием физики величина этой "минимально возможной дроби" будет корректироваться.
После этой, давно назревшей, реформы мера точек в которых отсутствует например 7 после запятой будет уже не совсем ноль.
А мера точек содержащих текст Евгения Онегина будет уже не 1, а будет близка к 0!
Для некоторых разделов математики ввести понятие "квазииррациональные числа" , которыми считать те у которых после запятой более цифр чем может поместиться на экране монитора компьютера.

 Отправлено: 20.02.09 19:44. Заголовок: :sm36: Таким образ..

Таким образом, А.С. Пушкин, можно сказать, и не написал почти Евгения Онегина. Так едва-едва прикоснулся пяткой левой.

 Отправлено: 20.02.09 21:03. Заголовок: Kopiev A. пишет: Та..

Kopiev A. пишет:

цитата:

Таким образом, А.С. Пушкин, можно сказать, и не написал почти Евгения Онегина. Так едва-едва прикоснулся пяткой левой.

Этот господин вообще халявщик. Ему талант был даден, он его реализовал. Сам же не работал ни одного дня. Не посадил дерево, не построил дом, не успел поднять на ноги сына. Вспылил. Оставил сирот.
На самом деле, существует работа Лема, в которой последовательно доказывается невероятность существования мистера Смит. но мистер Смит существует! Хотя вероятность стечения способствовавших его появлению событий практически не отличается от нуля. Со времён Адама и Евы родилось слишком мало народу, чтобы господин Копьёв, к примеру, появился на свет.

 Отправлено: 28.10.09 18:24. Заголовок: А я согласна с госпо..

А я согласна с господином Гавриловым. Ошибка допущена при возведении в квадрат.

 Отправлено: 28.10.09 18:25. Заголовок: А я согласна с Гаври..

А я согласна с Гавриловым!

 Отправлено: 28.10.09 18:26. Заголовок: А я согласна с Гаври..

А я согласна с Гавриловым!